Zur Frage der verschiedenen wohltemperierten Stimmungen

Übersichten der Akkordklänge in den Stimmungen

Aus den Berechnungsgrundlagen wurden die Schwebungen und relativen Fehler (Unreinheiten) aller Intervalle mit Hilfe einer Excel-Tabelle berechnet: In der ersten Spalte stehen alle Intervall von A aufsteigend, in der zweiten Spalte von B aufsteigend usw. Diese Tabelle, die in Stufen verläuft, habe ich für die verschiedenen Stimmungen erstellt. In die Spalte links stehen die Frequenzen der einzelnen Töne der Tonleiter, die selbst schon aus den reinen oder unreinen Quinten berechnet werden.

Anfangs habe ich die Felder mit den relativen Abweichungen farblich unterlegt, um einen Überblick über die Qualitäten der verschiedenen Stimmungen zu bekommen. Später habe ich mich auf die (übersichtlichere) Schwebungstabelle der verschiedenen Akkorde konzentriert, die weiter unten gezeigt werden.

Schließlich habe ich auch die Intervalle in Cent für die verschiedenen Ausgangstöne zusammen gefasst, anfangs um die verschiedenen Halbtonschritte zu erkennen, später auch, um die Besonderheiten der wopy Stimmung sichtbar zu machen (s. Kommentar).

Um die ersten (farbigen) Tabellen übersichtlicher zu machen, wurden die Zwischenwerte ausgeblendet, so dass nur die relativen Fehler (in %) sichtbar sind:

 

Später habe ich aus diesen Tabellen die Werte der relativen Abweichungen für die Intervalle der üblichen Dreiklänge (große bzw. kleine Terz, Quint, Quart und kleine bzw. große Sext) in Cent umgerechnet (Teile eines Halbtons, siehe weiter unten):

Zur Übersicht der Schwebungen in den Dreiklängen

Die Tabellen zeigen, wie unterschiedlich die Akkorde in den verschiedenen Tonarten klingen und dass bei der wohltemperiert-pythagoräischen Stimmung die Schwebungen umso stärker sind, je mehr Vorzeichen es gibt. Dabei unterschieden sich die Kreuz- von den B-Tonarten und auch Dur- von moll-Tonarten.

 

Erklärung: Dargestellt sind die Intervalle der Dreiklänge, also zum Beispiel bei C-Dur:
Die große Terz C-E
Die kleine Terz E-G
Die Quint G-c
die kleine Sext E-c,
allerdings nicht die Intervalle selbst, sondern die Abweichungen von den reinen Intervallen: Im Beispiel C-Dur ist die große Terz C-E um 14 Cent größer als die reine große Terz. Cent gibt Anteile eines Halbtons an, 100 Cent sind ein Halbton, 50 Cent ein Viertelton. Die Umrechnung ist logharitmisch und darum etwas kompliziert (s. u.) Aus den Unreinheiten bzw. ihren Interferenzen ergeben sich die Schwebungen, die dem Klang seine besondere Färbung geben. Die Schwebungen selbst hört nur der geübte Musiker, die spezielle Färbung des Klanges hört aber jeder aufmerksame Hörer.

Die gleichstufige Stimmung: Klar, dass hier alle Akkorde gleich klingen. Dass manche Menschen Tonarten besonders gern mögen oder zumindest Unterschiede hören, kann ich mir nur mit dem Tonhöhengedächtnis erklären, das Kinder oft noch klarer haben als Erwachsene. Näheres ist bei Wikipedia unter dem Stichwort „absolutes Gehör“ zu lesen.

Die HaDEs-Stimmung: Während die Tabelle der einzelnen Unreinheiten mehrere Vorteile der HaDEs-Stimmung zeigt, wird an dieser Tabelle deutlich, dass die Vielfalt der Klänge deutlich geringer ist als bei der wohltemperiert-pythagoräischen Stimmung. Es gibt 4 verschiedene Klänge in Dur und 6 verschiedene in moll. Ein Zusammenhang zwischen Vorzeichen und Schwebungsstärke ist nicht erkennbar.

Bei der wohltemperiert-pythagoräischen Stimmung haben die Dreiklänge von C-Dur, F-Dur und G-Dur wie auch a-moll, d-moll und e-moll, also die Tonarten mit keinem oder einem Vorzeichen, die kleinsten Unreinheiten, damit die unauffälligsten Schwebungen. Hier sind auch die Terzen reiner als bei der gleichstufigen Stimmung. Je mehr Vorzeichen die Tonarten haben, umso auffälliger sind die Schwebungen. Fünf und sechs Vorzeichen klingen bei den Dreiklängen wieder gleich.

Die Werckmeister-III-Stimmung (in manchen Zählungen Werckmeister I, unreine Quinten ab C,G,D und H) hat auch die Tendenz, mit zunehmenden Vorzeichen stärkere Schwebungen zu bekommen. Allerdings geht es bei Dur in Stufen: 1 # und 2 # klingen gleich, 3 # und 4 # und 3 b klingen gleich, 4 b und 5 b klingen auch gleich. In den moll-Tonarten gibt es mehr Abstufungen. Die vier unreinen Quinten sind mit 6 Cent stärker unrein als bei der wohltemperiert-pythagoräischen Stimmung (4 Cent), was mir dort schon als grenzwertig erscheint.